已知函數(shù),其中a≠0.
(1)當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),f(x)取得極值?
(2)已知a>0,且f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,試用a表示出b的取值范圍.
【答案】分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo),由題意可得f′(x)=0有解,由a≠0,分a>0,a<0討論可求解
(2)f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,可得f′(x)≥0在[0,1]上恒成立,從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,可求解.
解答:解:(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1,
令f′(x)=0,得ax2+2bx+1=0,
f(x)要取得極值,方程ax2+2bx+1=0,必須有解,
所以△=4b2-4a>0,即b2>a,
此時(shí)方程ax2+2bx+1=0的根為
x1==,x2==,,
所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2
當(dāng)a>0時(shí),

所以f(x)在x1,x2處分別取得極大值和極小值.
當(dāng)a<0時(shí),

所以f(x)在x1,x2處分別取得極大值和極小值.
綜上,當(dāng)a,b滿足b2>a時(shí),f(x)取得極值.
(2)要使f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,需使f′(x)=ax2+2bx+1≥0在(0,1]上恒成立.
即b≥--,x∈(0,1]恒成立,
所以b≥-
設(shè)g(x)=--,g′(x)=-+=,
令g′(x)=0得x=或x=-(舍去),
當(dāng)a>1時(shí),0<<1,當(dāng)x∈(0,]時(shí)g′(x)>0,g(x)=--單調(diào)增函數(shù);
當(dāng)x∈(,1]時(shí)g′(x)<0,g(x)=--單調(diào)減函數(shù),
所以當(dāng)x=時(shí),g(x)取得最大,最大值為g()=-
所以b≥-
當(dāng)0<a≤1時(shí),≥1,
此時(shí)g′(x)≥0在區(qū)間(0,1]恒成立,
所以g(x)=--在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,當(dāng)x=1時(shí)g(x)最大,最大值為g(1)=-,
所以b≥-
綜上,當(dāng)a>1時(shí),b≥-;
0<a≤1時(shí),b≥-;
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)極值取得的條件,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題:由f′(x)>0,解得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;反之函數(shù)在[a,b]上單調(diào)遞增,則f′(x)≥0恒成立,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的最值問題,體現(xiàn)了分類討論及轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年浙江省溫州市蒼南縣龍港高中高考數(shù)學(xué)仿真模擬試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),其中a≠0
(1)若a=1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱時(shí).試求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值.
(2)若a>0,且f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,試用a表示出b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年浙江省壽昌中學(xué)、新安江中學(xué)、嚴(yán)州中學(xué)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù),其中a≠0
(1)若a=1,且f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱時(shí).試求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值.
(2)若a>0,且f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增,試用a表示出b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西省5月第一次周考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)=,其中a≠0.

(1)若對一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.

(2)在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn),記直線AB的斜率為K,問:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(湖南卷解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)=,其中a≠0

(1)   若對一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.

(2)在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn),,記直線AB的斜率為K,問:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:高考真題 題型:解答題

已知函數(shù),其中a≠0。
(1)若對一切x ∈R ,≥1恒成立,求a的取值集合。
(2)在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn),,記直線AB的斜率為K,問:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案