Question

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-

x

x+1

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（3）求證：對任意的正數(shù)a與b，恒有lna-lnb≥1-

b

a

．

Answer 1

（1）∵函數(shù)f(x)=ln(x+1)-

x

x+1

∴f′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x) 2

，
由f′（x）＞0?x＞0；由f′（x）＜0?-1＜x＜0；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間（-1，0）
（2）f′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x) 2

，
當x=1時，y'=

1

4

得切線的斜率為

1

4

，所以k=

1

4

；
所以曲線在點（1，f（1））處的切線方程為：
y-ln2+

1

2

=

1

4

×（x-1），即x-4y+4ln2-3=0．
故切線方程為 x-4y+4ln2-3=0
（3）所證不等式等價為ln

a

b

+

b

a

-1≥0
而f(x)=ln(1+x)+

1

x+1

-1，設t=x+1，則F(t)=lnt+

1

t

-1，
由（1）結論可得，F(xiàn)（t）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
由此F（t）_min=F（1）=0，
所以F（t）≥F（1）=0即F(t)=lnt+

1

t

-1≥0，
記t=

a

b

代入得：
lna-lnb≥1-

b

a

得證．