Question

【題目】（卷號）2209028400021504

（題號）2209073114537984

（題文）

已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）對于曲線上的不同兩點、，如果存在曲線上的點，且，使得曲線在點處的切線，則稱直線存在“伴隨切線”. 特別地，當(dāng)時，又稱直線存在“中值伴隨切線”.試問：在函數(shù)的圖象上是否存在兩點、，使得直線存在“中值伴隨切線”？若存在，求出、的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）不存在

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式得結(jié)果，（Ⅱ）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點情況分類討論，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)性，（Ⅲ）根據(jù)定義建立方程，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)零點問題，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定零點滿足條件，解得結(jié)果.

（Ⅰ）當(dāng)時，

（Ⅱ）

所以當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，

（Ⅲ）由題意得，

所以

因為，

所以化簡得

令，

則

因此，即，也即不成立，

所以不存在兩點、，使得直線存在 “中值伴隨切線”.