Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=3，S₃=39．
（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）若在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為d_n的等差數(shù)列，求證：…．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a₁=3，S₃=39，知1+q+q²=13．故q=3，或q=-4，由此能求出．
（Ⅱ）由，知，由題知：a_n+1=a_n+（n+1）d_n，則．由上知：，所以=，由此利用錯(cuò)位相減法能夠證明…．
解答：解：（Ⅰ）∵a₁=3，S₃=39，∴q≠1，，
∴1+q+q²=13．∴q=3，或q=-4（舍），
故．…（6分）
（Ⅱ）∵，則，由題知：
a_n+1=a_n+（n+1）d_n，則．
由上知：，
所以=，
，
所以-
=-
=，
所以．
故…．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，證明數(shù)列的前n項(xiàng)和小于定值．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．