Question

已知f（x）=log₂（4^x+1）+2kx（x∈R）是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-m=0有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+2kx（k∈R）是偶函數(shù)
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-2kx=f（x）=log₂（4^x+1）+2kx恒成立
即log₂（4^x+1）-2x-2kx=log₂（4^x+1）+2kx恒成立
解得k=-；
（2）由（1）知，f（x）=log₂（4^x+1）-x
∴f（x）-m=0等價于m=log₂（4^x+1）-x
∵log₂（4^x+1）-x=≥1
∴要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范圍為m≥1．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)建立等式關(guān)系，化簡可得實數(shù)k的值；
要使方程f（x）-m=0有解，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域，將m分離出來，利用基本不等式，即可求實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)與方程的綜合運用，偶函數(shù)，其中根據(jù)偶函數(shù)的定義求出k值，進而得到函數(shù)f（x）的解析式，是解答的關(guān)鍵．