Question

計(jì)算下列函數(shù)的定積分：
（1）

∫

π 2 0

cos2x

cosx-sinx

dx； 
（2）

∫

2 -4

|x+2|dx．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二倍角的余弦公式，得cos2x=cos²x-sin²x，因此將原式化為y=cosx+sinx在[0，

π

2

]上的定積分值，結(jié)合積分計(jì)算公式，不難算出原式的值；
（2）函數(shù)y=|x+2|在區(qū)間[-4，-2]上表達(dá)式為y=-x-2，在區(qū)間[-2，2]上表達(dá)式為y=x+2．因此將所求積分轉(zhuǎn)化為y=-x-2在區(qū)間[-4，-2]上的積分值，加上y=x+2在區(qū)間[-2，2]上的積分值，所得的和即為原式的值．

解答：解：（1）∵cos2x=cos²x-sin²x，
∴

∫

π 2 0

cos2x

cosx-sinx

dx=

∫

π 2 0

cos2x-sin2x

cosx-sinx

dx
=

∫

π 2 0

(cosx+sinx)dx=（sinx-cosx）

|

π 2 0

=（sin

π

2

-cos

π

2

）-（sin0-cos0）=2
（2）

∫

2 -4

|x+2|dx=

∫

-2 -4

(-x-2)dx+

∫

2 -2

(x+2)dx
=（-

1

2

x²-2x）

|

-2 -4

+（

1

2

x²+2x）

|

2 -2

=（2-0）+（6+2）=10

點(diǎn)評：本題通過計(jì)算兩個(gè)積分式的值，考查了二倍角的三角函數(shù)、分段函數(shù)積分的處理、定積分的計(jì)算公式和運(yùn)算法則等知識，屬于基礎(chǔ)題．