Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5有兩個(gè)零點(diǎn)：
（1）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是-1和-3，求k的值；
（2）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是α和β，求α²+β²的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，即方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩個(gè)根是-1和-3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得k的值，
（2）由題中條件：“函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是α和β”得α和β是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出α²+β²，最后結(jié)合根的判別為非負(fù)數(shù)的條件求出一個(gè)二次函數(shù)的最值即得．
解答：解：（1）：∵-1和-3是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)
∴-1和-3是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（2分）
則：解的k=-2（4分）
（2）：若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為α和β，
則α和β是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩根
∴（7分）
則
∴（11分）
即：（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)，我們把函數(shù)y=f（x）的圖象與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)（the zero of the function），即方程的根． f（x）的零點(diǎn)就是方程f（x）=0的解．這樣就為我們提供了一個(gè)通過函數(shù)性質(zhì)確定方程的途徑．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就決定了相應(yīng)方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．