Question

下列命題中，真命題的個數為（　�。�
①x²+bx+c=0有一根大于1，另一根小于1的充要條件是1+b+c＜0
②當a≥2時，y=

a

+

1

a +1

的最小值為1
③x²-mx+1≥0對于x＞0恒成立，則m≤2
④x≥1的一個充分不必要條件是x=4．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

①設f（x）=x²+bx+c=0，方程f（x）=0有一根大于1，一根小于1充要條件是
f（1）＜0，即b+c＜-1，
∴x²+bx+c=0有一根大于1，另一根小于1的充要條件是1+b+c＜0，故①正確；
②y=

a

+

1

a +1

=

a

+1+

1

a +1

-1≥2

( a +1)• 1 a +1

-1=1，
當且僅當

a

=0時，取最小值，
∴當a≥2時，y=

a

+

1

a +1

的最小值為1不正確，故②不正確；
③不等式x²-mx+1≥0對于任意的x∈R均成立，
∴由△=m²-4≤0得：-2≤m≤2．
當m＜-2時，x²-mx+1≥0對于x＞0恒成立，
∴x²-mx+1≥0對于x＞0恒成立，則m≤2．故③正確；
④∵由x≥1，不能得到x=4，x=4?x＞1，
∴x≥1的一個必要不充分條件是x=4，故④不正確．
故選B．