Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中點，F(xiàn)是CD上的點且，PH為△PAD中AD邊上的高．
（1）證明：PH⊥平面ABCD；
（2）若PH=1，，F(xiàn)C=1，求三棱錐E-BCF的體積；
（3）證明：EF⊥平面PAB．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因為PH為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD，由此能夠證明PH⊥平面ABCD．
（2）連接BH，取BH中點G，連接EG，因為E是PB的中點，所以EG∥PH，因為PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能夠求出三棱錐E-BCF的體積．
（3）取PA中點M，連接MD，ME，因為E是PB的中點，所以，因為ME，所以MEDF，故四邊形MEDF是平行四邊形．由此能夠證明EF⊥平面PAB．
解答：解：（1）證明：∵AB⊥平面PAD，
∴PH⊥AB，
∵PH為△PAD中AD邊上的高，
∴PH⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PH⊥平面ABCD．
（2）如圖，連接BH，取BH中點G，連接EG，
∵E是PB的中點，
∴EG∥PH，
∵PH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
則，
∴=
（3）證明：如圖，取PA中點M，連接MD，ME，
∵E是PB的中點，
∴ME，
∵，
∴MEDF，
∴四邊形MEDF是平行四邊形，
∴EF∥MD，
∵PD=AD，∴MD⊥PA，
∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，
∴EF⊥平面PAB．
點評：本題考查直線與平面垂直的證明，求三棱錐的體積，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地化立體幾何問題為平面幾何問題．