Question

圓心在直線2x+y=0上的圓C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，-1），并且與直線x+y-1=0相切
（1）求圓C的方程；
（2）圓C被直線l：y=k（x-2）分割成弧長(zhǎng)的比值為

1

2

的兩段弧，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,點(diǎn)到直線的距離公式

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由直線與圓相切的條件列出方程組，求出a、b、r；
（2）由題意求出圓心到直線l的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，求出k的值，代入直線方程即可．

解答： 解：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
由題意得，

2a+b=0 (2-a)2+(1-b)2=r2 |a+b-1| 2 =r

，解得

a=1 b=-2 r= 2

，
所以圓C的方程為（x-1）²+（y+2）²=2；
（2）設(shè)直線l與圓C交于B、D兩點(diǎn)，
因?yàn)閳AC被直線l：y=k（x-2）分割成弧長(zhǎng)的比值為

1

2

的兩段弧，
所以∠BCD=120°，則∠BDC=∠CBD=30°，
即圓心C到直線l的距離為

1

2

r=

2

2

，且C（1，-2），
因?yàn)橹本�l的方程為kx-y-2k=0，
所以

|k+2-2k|

k2+1

=

2

2

，化簡(jiǎn)解得k=1或k=7，
故所求直線l的方程為y=x-2或y=7x-14．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用待定系數(shù)法求圓的方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查方程思想和化簡(jiǎn)計(jì)算能力．