已知圓的方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),從0,3,4,5,6,7,8,9,10這九個數(shù)中選出3個不同的數(shù),分別作圓心的橫坐標、縱坐標和圓的半徑.問:
(1)可以作多少個不同的圓?
(2)經過原點的圓有多少個?
(3)圓心在直線上x+y-10=0的圓有多少個?
分析:(1)可分兩步完成:第一步,先選r,因r>0,可得r的情況,第二步,選a、b,由排列數(shù)公式可得其情況數(shù)目,進而由分類加法原理計算可得答案;
(2)圓(x-a)2+(y-b)2=r2經過原點,a、b、r滿足a2+b2=r2,分析可得滿足條件的a、b、r的數(shù)目,再考慮a、b的順序,由分步計數(shù)原理,計算可得答案;
(3)圓心在直線x+y-10=0上,即滿足a+b=10,則圓心(a,b)有三組:0,10;3,7;4,6;再考慮考慮a、b的順序與r可選的情況,由分類加法原理計算可得答案.
解答:解:(1)可分兩步完成:第一步,先選r,因r>0,則r有A81種選法,第二步再選a,b,在剩余8個數(shù)中任取2個,有A82種選法,
所以由分步計數(shù)原理可得有A81.A82=448個不同的圓,,
(2)圓(x-a)2+(y-b)2=r2經過原點,a、b、r滿足a2+b2=r2
滿足該條件的a,b,r共有3,4,5與6,8,10兩組,考慮a、b的順序,有A22種情況,
所以符合題意的圓有2A22=4,
(3)圓心在直線x+y-10=0上,即滿足a+b=10,則滿足條件的a、b有三組:0,10;3,7;4,6.
當a、b取10、0時,r有7種情況,
當a、b取3、7;4、6時,r不可取0,有6種情況,
考慮a、b的順序,有A22種情況,
所以滿足題意的圓共有A22.A71+2A22A61=38個
點評:本題考查排列、組合的運用,關鍵是掌握圓的標準方程,如滿足滿足a2+b2=r2時,圓(x-a)2+(y-b)2=r2經過原點.
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