Question

以集合U={a，b，c，d}的子集中選出4個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：（1）∅、U都要選出；（2）對選出的任意兩個子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有________種不同的選法．

Answer 1

解：因為U，Φ都要選出
而所有任意兩個子集的組合必須有包含關(guān)系
故各個子集所包含的元素個數(shù)必須依次遞增
而又必須包含空集和全集
所以需要選擇的子集有兩個
設(shè)第二個子集的元素個數(shù)為1
有（a）（b）（c）（d）四種選法
（1）第三個子集元素個數(shù)為2
當?shù)诙�個子集為（a）時
第三個子集的2個元素中必須包含a
剩下的一個從bcd中選取
有三種選法
所以這種子集的選取方法共有4×3=12種
（2）第三個子集中包含3個元素
同理三個元素必須有一個與第二個子集中的元素相同
共有4×3=12種
（3）第二個子集有兩個元素
有6種取法
第三個子集必須有3個元素且必須包含前面一個子集的兩個元素
有兩種取法
所以這種方法有6×2=12種
綜上一共有12+12+12=36種
故答案為：36．
分析：由題意知，子集A和B可以互換，即視為一種選法，從而對子集A分類討論當A是單元集或是四元集，當A是二元集，B相應的只有兩種，當A是三元集，B相應的有6種結(jié)果，根據(jù)計數(shù)原理得到結(jié)論．
點評：題意的理解是一個難點，另外分類點比較多也是制約思維的一個瓶頸．本題考查集合的子集及利用排列組合知識解決實際問題，考查分析問題與解決問題的能力．