Question

【題目】已知正三棱柱， 是的中點．

求證：（1）平面；

（2）平面平面．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）連接，交于點，連結(jié)，由棱柱的性質(zhì)可得點是的中點，根據(jù)三角形中位線定理可得，利用線面平行的判定定理可得平面；（2）由正棱柱的性質(zhì)可得平面，于是，再由正三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論.

試題解析：（1）連接，交于點，連結(jié)，

因為正三棱柱，

所以側(cè)面是平行四邊形，

故點是的中點，

又因為是的中點，

所以，

又因為平面， 平面，

所以平面．

（2）因為正三棱柱，所以平面，

又因為平面，所以，

因為正三棱柱， 是的中點，

是的中點，所以，

又因為，所以平面，

又因為平面，

所以平面 平面．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直及面面垂直的證明，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.