Question

已知函數(shù)f（x）=（bx+c）lnx在x=處取得極值，且在x=1處的切線的斜率為1．
（Ⅰ）求b，c的值及f（x）的單調減區(qū)間；
（Ⅱ）設p＞0，q＞0，g（x）=f（x）+x²，求證：5g（）≤3g（p）+2g（q）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），，故，由此能求出b，c的值及f（x）的單調減區(qū)間．
（Ⅱ）先證，即證，再證明5g（）≤3g（p）+2g（q）．
解答：解：（Ⅰ），（1分）
，
∴，
即-b+b+ec=0，
∴c=0，
∴f'（x）=blnx+b，
又f'（1）=1，
∴bln1+b=1，
∴b=1，
綜上，b=1，c=0，（3分）
f（x）=xlnx，由定義域知x＞0，f'（x）=lnx+1，
∵，
∴f（x）的單調減區(qū)間為．（5分）
（Ⅱ）先證
即證
即證，（6分）
令，∵p＞0，q＞0，∴t＞0，
即證
令，
則，
∴=，（8分）
①當3+2t＞5t即0＜t＜1時，，即h'（t）＞0
h（t）在（0，1）上遞增，∴h（t）＜h（1）=0，（9分）
②當3+2t＜5t，即t＞1時，ln＜0，即h′（t）＜0，
h（t）在（1，+∞）上遞減，
∴h（t）＜h（1）=0，（10分）
③當3+2t=5t，即t=1時，h（t）=h（1）=0，
綜合①②③知h（t）≤0，
即ln≤，（11分）
即5f（）≤3f（p）+2f（q），
∵5•（）²-（3p²+2q²）=≤0，
∴5•（）²≤3p²+2q²，
綜上，得5g（）≤3g（p）+2g（q）．（12分）
點評：本題考查函數(shù)的減區(qū)間的求法，考查不等式的證明，考查等價轉化思想，考查運算推導能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質的靈活運用．