Question

當a取怎樣的值時，拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有且只有兩個公共點．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是拋物線與圓的綜合性質，由由于拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有公共的對稱軸x軸故如果拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有且只有兩個公共點．則這兩個點的橫坐標相等且大于0，聯(lián)立兩條曲線的方程組成方程組，然后利用韋達定理，即可給出答案．
解答：解：由于拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有公共的對稱軸x軸
故如果拋物線y²=2x和圓（x-a）²+y²=4，有且只有兩個公共點．
則這兩個點的橫坐標相等且大于0
即聯(lián)立方程
得：（x-a）²+2x=4有且只有一個正根時，滿足條件
∵△=20-8a
∴當△=0，此時a=，x=，滿足要求
當△＞0，a＜，此時a²-4＜0
解得2＜a＜
綜上，滿足條件的a的取值范圍為：2＜a≤
點評：曲線與曲線交點的個數一般可以由聯(lián)系曲線方程得到的方程組解的個數來決定，但要注意，如果像本題一樣，交點是對稱的，我們要根據曲線的性質，進行分析后，才能進一步求解．