已知a，b是不相等的正常數(shù)，實數(shù)x，y∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求證：
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，并指出等號成立的條件；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=
2
x
+
1
1-2x
，x∈(0，
1
2
)的最小值，并指出此時x的值．
考點：不等式的證明
專題：證明題,不等式的解法及應用
分析：（Ⅰ）應用均值不等式，得：(
a2
x
+
b2
y
)(x+y)=a2+b2+
ya2
x
+
xb2
y
≥a2+b2+2
ya2
x
+
xb2
y
=a2+b2+2ab=（a+b）2，即可得出結論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=
22
2x
+
12
1-2x
≥
(2+1)2
2x+(1-2x)
=9，從而可求函數(shù)的最小值．
解答： （Ⅰ）證明：因為a，b是不相等的正常數(shù)，實數(shù)x，y∈（0，+∞），
所以應用均值不等式，得：(
a2
x
+
b2
y
)(x+y)=a2+b2+
ya2
x
+
xb2
y
≥a2+b2+2
ya2
x
+
xb2
y

=a2+b2+2ab=（a+b）2，即有
a2
x
+
b2
y
≥
(a+b)2
x+y
，…（5分）
當且僅當
ya2
x
=
xb2
y
，即
a
x
=
b
y
時上式取等號；   …（7分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f(x)=
22
2x
+
12
1-2x
≥
(2+1)2
2x+(1-2x)
=9，…（10分）
當且僅當
2
2x
=
1
1-2x
，即x=
1
3
時上式取最小值，即f（x）min=9．           …（12分）
點評：本題考查運用均值不等式證明不等式與求函數(shù)的最值，考查學生分析解決問題的能力，正確證明不等式是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c∈（0，+∞），求證：(
a
a+b
)•(
b
b+c
)•(
c
c+a
)≤
1
8
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)y=x2-2|x|-1的單調(diào)性并證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在某國際高端經(jīng)濟論壇上，前六位發(fā)言的是與會的含有甲、乙的6名中國經(jīng)濟學專家，他們的發(fā)言順序通過隨機抽簽方式?jīng)Q定．
（Ⅰ）求甲、乙兩位專家恰好排在前兩位出場的概率；
（Ⅱ）求發(fā)言中甲、乙兩位專家之間恰好有2名中國專家的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四邊形ABCD中，
AD
=λ
BC
（λ＞0），|
AB
|=|
AD
|=2，|
CB
-
CD
|=2
3
，且△BCD是以BC為斜邊的直角三角形．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）求
BC
•
CD
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線l過點（-1，0），圓C的圓心為C（2，0）．
（Ⅰ）若圓C的半徑為2，直線l截圓C所得的弦長也為2，求直線l的方程；
（Ⅱ）若直線l的斜率為1，且直線l與圓C相切；若圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．如圖，“盾圓C”是由橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與拋物線y2=4x中兩段曲線弧合成，F(xiàn)1、F2為橢圓的左、右焦點，F(xiàn)2（1，0），A為橢圓與拋物線的一個公共點，|AF2|=
5
2
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過F2的一條直線l，與“盾圓C”依次交于M、N、G、H四點，使得△F1MH與△F1NG的面積比為6：5？若存在，求出直線l方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a=log23，b=log3
3
4
，c=(
10
9
)-
1
2
，那么將這三個數(shù)從大到小排列為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

三個數(shù)168，120，72的最大公約數(shù)是
 
．

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