Question

已知橢圓：的左、右頂點分別為，，為短軸的端點，△的面積為，離心率是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若點是橢圓上異于，的任意一點，直線，與直線分別交于，兩點，證明：以為直徑的圓與直線相切于點 (為橢圓的右焦點)．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）證明：見解析 。

【解析】(I)由題意可得,再根據(jù),求出a,b的值.

(II) 以為直徑的圓與直線相切于點本質(zhì)是證明：且.然后利用坐標(biāo)表示出來，再根據(jù)條件把M、N的坐標(biāo)求出來，證明即可.

請考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.

（Ⅰ）解：由已知

 解得，．  …………4分故所求橢圓方程為．

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，設(shè)橢圓右焦點．設(shè)，則． 于是直線方程為 ，令，得；

所以，同理．

所以，.

所以

．

所以 ，點在以為直徑的圓上．

設(shè)的中點為，則．

又，

所以

．

所以 ．…………12分

因為是以為直徑的圓的半徑，為圓心，，故以為直徑的圓與直線相切于右焦點．