已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，且，為中點．
（Ⅰ）證明：//平面；
（Ⅱ）證明：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的正弦值．

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）

證明：連結BD交AC于點O，連結EO．                                     ……1分
O為BD中點，E為PD中點，
∴EO//PB．                                                             ……2分
EO平面AEC，PB平面AEC，                                         ……3分
∴ PB//平面AEC．                       
（Ⅱ）

證明：
PA⊥平面ABCD．平面ABCD，
∴．                                                          ……4分
又在正方形ABCD中且，                        ……5分
∴CD平面PAD．                                                       ……6分
又平面PCD，
∴平面平面．                                              ……7分
（Ⅲ）如圖，以A為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空
間直角坐標系．
                                         ……8分
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標分別為
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．                                 ……9分
PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）．
設平面AEC的法向量為, ,
則 即 
∴
∴令,則.                                           ……11分
∴,                            ……12分
二面角

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
如圖所示，△是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中點.

(1)求證：∥平面；
(2)求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、G分別是BC、C1D1的中點，如圖所示.

（1）求證：BD⊥A1C；
（2）求證：EG∥平面BB1D1D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)D⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，F(xiàn)D=BE=1，M為BC邊上的動點.試探究點M的位置，使F—AE—M為直二面角.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分） 如圖，在直三棱柱中，、分別是、的中點，點在上，。
 
求證：（1）EF∥平面ABC；    
（2）平面平面

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,在四棱錐中,⊥底面,底面為梯形,,,,點在棱上,且．

(1)求證：平面⊥平面；
(2)求平面和平面所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，長方體AC1中，AB＝2，BC＝AA1＝1.E、F、G分別為棱DD1、D1C1、BC的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)在底面A1D1上有一個靠近D1的四等分點H，求證： EH∥平面FGB1；
(3)求四面體EFGB1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐的底面是正方形，⊥底面，且，點、分別為側棱、的中點 

（1）求證：∥平面；
（2）求證：⊥平面.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分14分）
如圖，在底面是正方形的四棱錐中，面，交于點，是中點，為上一點．
⑴求證：；
⑵確定點在線段上的位置，使//平面，并說明理由．
⑶當二面角的大小為時，求與底面所成角的正切值．

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