Question

如圖，已知拋物線M的參數(shù)方程為

x=2s y=2s2

（其中s為參數(shù)），AB為過拋物線的焦點F且垂直于對稱軸的弦，點P在線段AB上．傾斜角為

3

4

π的直線l經(jīng)過點P與拋物線交于C，D兩點．
（1）請問

|PC|•|PD|

|PA|•|PB|

是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；
（2）若△APD和△BPC的面積相等，求點P的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）消參求出焦點坐標，進而確定A、B的坐標，設(shè)出直線的參數(shù)方程，聯(lián)立利用韋達定理簡化運算，
（2）由△APD和△BPC的面積相等，通過面積相等得到方程，解方程．

解答： 解：（1）消去參數(shù)s，得拋物線的方程為x²=2y，
∴F(0，

1

2

)，
把y=

1

2

代入拋物線方程得A(-1，

1

2

)，B(1，

1

2

)，
于是設(shè)點P(x0，

1

2

)（-1＜x₀＜1），
∵直線l的傾斜角為

3

4

π，
∴它的參數(shù)方程為

x=x0- 2 2 t y= 1 2 + 2 2 t

（其中t為參數(shù)），
代入拋物線方程得：(x0-

2

2

t)2=2(

1

2

+

2

2

t)，
即t2-2

2

(x0+1)t+(2x02-2)=0，
設(shè)C，D對應(yīng)的參數(shù)為t_C，t_D；
∴

tC+tD=2 2 (x0+1) tC•tD=2x02-2

（*），
∴

|PC|•|PD|

|PA|•|PB|

=

|tC•tD|

(x0+1)(1-x0)

=

2-2x02

1-x02

=2．
（2）∵△APD和△BPC的面積相等，
∴

1

2

|AP|•|PD|•sin∠APD=

1

2

|BP|•|PC|•sin∠BPC，
∴|AP|•|PD|=|BP|•|PC|，
又∵|AP|=x₀-（-1）=x₀+1，|BP|=1-x₀，
∴|PC|=

x0+1

1-x0

|PD|，
∴tC=-

x0+1

1-x0

tD，
將其代入（*）式得

tD= 2 (x02-1) x0       (1) tD2=2(x0-1)2       (2)

（1）²÷（2）得：

2(x02-1)2

x02

=2(x0-1)2，
∴(x0+1)2=x02，
∴x0=-

1

2

，
即點P的橫坐標為-

1

2

，
∴點P的坐標為(-

1

2

，

1

2

)．

點評：本題考查了拋物線的方程及參數(shù)方程的應(yīng)用，化簡是個難點，注意要細致，屬于難題．