Question

甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為

3

4

，

2

3

，

1

2

，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是

2

3

．設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊(duì)總得分．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．
（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=

P(AB)

P(A)

，能求出結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-

3

4

）（1-

2

3

）（1-

1

2

）=

1

24

，
P（ξ=1）=

3

4

（1-

2

3

）（1-

1

2

）+（1-

3

4

）×

2

3

×（1-

1

2

）+（1-

3

4

）（1-

2

3

）×

1

2

=

1

4

，
P（ξ=2）=

3

4

×

2

3

×(1-

1

2

)+

3

4

×(1-

2

3

)×

1

2

+(1-

3

4

)×

2

3

×

1

2

=

11

24

，
P（ξ=3）=

3

4

×

2

3

×

1

2

=

1

4

，
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 24	1 4	11 24	1 4

數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0×

1

24

+1×

1

4

+2×

11

24

+3×

1

4

=

23

12

．
（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，
則P（A）=

1

4

×

C

3 3

×(

2

3

)3+

11

24

×

C

2 3

×(

2

3

)2×(1-

2

3

)+

1

4

×

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2=

1

3

，
P（AB）=

1

4

×

C

1 3

×

2

3

×(1-

2

3

)2=

1

18

，
P（B|A）=

P(AB)

P(A)

=

1 18

1 3

=

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期分布列和數(shù)學(xué)期望，考查條件概率的求法，是歷年高考的必考題型之一，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．