Question

已知f（x）是二次函數，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）記集合A={x|(

1

2

)f(x)＜1}，B={x|log₄（x-a）＜1}，若A∩B=B，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=0可得c=0；再根據 f（x+1）=f（x）+x+1，可得（2a-1）x+a+b-1=0，求得a、b的值，可得函數的解析式．
（2）解指數不等式求得A={x|x＜-1，或x＞0}，解對數不等式求得B={x|a＜x＜4+a}，再由A∩B=B，可得B⊆A，從而得到a+4≤-1，或 a≥0，由此求得a的范圍．

解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=0可得c=0．
再根據 f（x+1）=f（x）+x+1，可得 a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1，
故有（2a-1）x+a+b-1=0，∴

2a-1=0 a+b-1=0

，解得

a= 1 2 b= 1 2

，
∴f(x)=

1

2

x2+

1

2

x．
（2）集合A={x|(

1

2

)f(x)＜1}={x|f（x）＞0}={x|

1

2

x²+

1

2

x＞0}={x|x＜-1，或x＞0}，
B={x|log₄（x-a）＜1}={x|0＜x-a＜4}={x|a＜x＜4+a}，
若A∩B=B，則有B⊆A，∴a+4≤-1，或 a≥0，
解得 a≤-5，或a≥0，
故a的范圍為（-∞，-5]∪[0，+∞）．

點評：本題主要考查二次函數的性質，指數不等式的解法，兩個集合間的包含關系，屬于中檔題．