圓C：(x-1)2+(y-2)2=25，直線L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)．

　　(1)證明不論m取什么實(shí)數(shù)，直線L與圓C恒交于兩點(diǎn)．

 

　　(2)求直線L被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度，并求此時(shí)m的值．

 

答案：
解析：

(1)證明：∵　L可化為(2x+y-7)m+(x+y-4)=0

　　∴　L恒過(guò)的交點(diǎn)M(3，1)

　　又M(3，1)到圓心C(1，2)距離為

　　d=

　　∴　M(3，1)在圓C內(nèi)，∴　過(guò)M(3，1)點(diǎn)的直線L與圓恒交于兩點(diǎn)

　　(如圖所示)．

　　(2)解：∵　在過(guò)M(3，1)的諸弦中，弦心距d≤，∴　在過(guò)M點(diǎn)的諸弦

　　中以垂直CM的弦長(zhǎng)最短．

　　在Rt△CMB中，|BM|2=r2-d2=25-5=20，

　　∴　弦長(zhǎng)=4

　　∵　kL=-，

　　kCM=-，L⊥CM

　　∴　=-1，∴　m=，∴　m=時(shí)，最短弦長(zhǎng)為4．

 


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓C：(x+1)2+(y-
3
)2=1，則圓心C的極坐標(biāo)為
(2， 
2π
3
)
(2， 
2π
3
)
 （ρ＞0，0≤θ＜2π）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知P是圓C：(x-1)2+(y-
3
)2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A（
3
，1），則
OP
•
OA
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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(本小題滿分8分)已知圓c：(x-1)2＋y2＝4，直線l：mx－y－1＝0

(1)當(dāng)m＝–1時(shí)，求直線l圓c所截的弦長(zhǎng)；

(2)求證：直線l與圓c有兩個(gè)交點(diǎn)。

 

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