Question

已知直線l：y=2x-2與拋物線M：y=x²的切線m平行
（I）求切線m的方程和切點(diǎn)A的坐標(biāo)
（II）若點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線M的兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C，同時(shí)分別與切線m交于點(diǎn)E，F(xiàn)試問是否為定值？若是，則求之，若不是，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求函數(shù)y=x²的導(dǎo)函數(shù)，由切線的斜率等于2求出切點(diǎn)坐標(biāo)，則切線方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)P，切點(diǎn)B，C，由導(dǎo)數(shù)得到過B，C的切線方程，兩切線方程聯(lián)立解得點(diǎn)P，由此可以得到B，C的橫坐標(biāo)與P點(diǎn)坐標(biāo)s，t的關(guān)系，由兩點(diǎn)式寫出BC的方程，則點(diǎn)A（1，1）到直線BC的距離可求，同樣把BC的長度轉(zhuǎn)化為含有s，t及B，C橫坐標(biāo)的代數(shù)式，然后由P在直線y=2x-2上用s表示t，則三角形ABC的面積化為，再由兩條切線和（Ⅰ）中求出的切線m聯(lián)立解出E，F(xiàn)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出|EF|，作比后進(jìn)行約分，最終可證得為定值．
解答：解：解：（I）設(shè)切點(diǎn)，切線斜率k=2x，
∴2x=2，x=1
∴A（1，1），切線m的方程為y=2x-1；
（II）設(shè)P（s，t），切點(diǎn)，
∵y^′=2x，
∴切線PB，PC的方程分別是y=2x₁x，y=
聯(lián)立方程組，得交點(diǎn)P（），即
∵點(diǎn)P在直線l：y=2x-2上，即t=2s-2，2s-t=2
又∵直線BC的方程為y=（x₁+x₂）x-x₁x₂=2sx-t
∴點(diǎn)A（1，1）到直線BC的距離
又由得x²-2sx+t=0．
∴．
∴   
聯(lián)立方程組，得交點(diǎn)，
聯(lián)立方程組，得交點(diǎn)．
∴=
∴．
點(diǎn)評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)的切線方程，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、面積問題，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法．是有一定難度題目．