Question

P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左右焦點(diǎn)，PA為∠F₁PF₂的外角平分線且F₂M⊥PA，垂足為 M，則M點(diǎn)的軌跡圖形為（ ）
A．圓
B．橢圓
C．雙曲線
D．拋物線

Answer 1

【答案】分析：由于PA為∠F₁PF₂的外角平分線且F₂M⊥PA，垂足為 M，所以可利用橢圓定義及外角平分線的性質(zhì)，得到QF₂為定值，再利用中位線的性質(zhì)可求．
解答：解：設(shè)F₂M的延長(zhǎng)線與F₁P的延長(zhǎng)線交于Q，
∵PA為∠F₁PF₂的外角平分線且F₂M⊥PA，垂足為 M，
∴△QPF₂是等腰三角形，兩腰分別為PF₂和PQ
∴QP=PF₂ 而F₁P+F₂P=2a，且QP=PF₂∴PQ+PF₁=2a 由于O為F₁F₂中點(diǎn)，M為QF₂中點(diǎn)在△QPF₂中，OM是中位線 故OM=a 由于a是定值，那么OM也是定值∴O是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值則該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓（半徑為a）
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，主要考查橢圓的定義，考查外角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用橢圓定義轉(zhuǎn)化．