Question

設△ABC的三內角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，平面向量

m

=（cosA，cosC），

n

=（c，a），

p

=（2b，0），且

m

•（

n

-

p

）=o．
（1）求角A的大��；
（2）當|x|≤A時，求函數f（x）=

1

2

sinxcosx+

3

2

sin²x的值域．

Answer 1

分析：（1）由

m

•（

n

-

p

）=o，結合平面向量

m

=（cosA，cosC），

n

=（c，a），

p

=（2b，0），我們易求出A角的一個三角函數值，結合A是三角形的內角，我們易得到A的大�。�
（2）根據三角函數的降次公式，我們易將函數f（x）=

1

2

sinxcosx+

3

2

sin²x的解析式進行化簡，然后根據|x|≤A，及正弦函數的性質，得到函數的值域．

解答：解：（I）∵

m

•（

n

-

p

）=（cosA，cosC）•（c-2b，a）=（c-2b）cosA+acosC=0
∴（sinC-2sinB）cosA+sinAcosC=0
∴-2sinBcosA+sinB=0
∵sinB≠0
∴cosA=

1

2

又由A是三角形的內角，
∴A=

π

3

（II）f（x）=

1

2

sinxcosx+

3

2

sin²x=

1

4

sin2x+

3

2

•

1-cos2x

2

=

3

4

+

1

4

sin2x-

3

4

cos2x=

3

4

+

1

2

sin（2x-

π

3

）
∵|x|≤A，A=

π

3

∴-

π

3

≤x≤

π

3

∴-π≤2x-

π

3

≤

π

3

∴-1≤sin（2x-

π

3

）≤

3

2

∴

3 -2

4

≤

3

4

+

1

2

sin（2x-

π

3

）≤

3

2

∴函數f（x）的值域為[

3 -2

4

，

3

2

]

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積的運算，三角函數給值求角，及正弦函數的定義域和值域，其中根據平面向量數量積的運算，根據

m

•（

n

-

p

）=o，得到A的三角函數值是解答本題的關鍵．