Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
①求側(cè)面A₁ABB₁與底面ABC所成銳二面角的大��；
②求頂點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：①利用三垂線定理作出角，即作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB，所以∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角；
②求頂點(diǎn)C到側(cè)面A₁ABB₁的距離，直接作出距離解三角形即可．
解答：解：①作A₁D⊥AC，垂足為D，由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC
作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB．
所以∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．
又D是AC的中點(diǎn)，BC=2，AC=2
所以DE=1，AD=A₁D=，∴tan∠A₁ED==．
故∠A₁ED=60°為所求．
②由點(diǎn)C作平面A₁ABB₁的垂線，垂足為H，則CH的長(zhǎng)是C到平面A₁ABB₁的距離．
連接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．
又A₁E⊥AB，知HB∥A₁E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A₁ED=60°
所以CH=BCsin60°=為所求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，棱柱的性質(zhì)，空間的角和距離的概念，邏輯思維能力、空間想象能力及運(yùn)算能力．