已知兩點(diǎn),點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上,且、、構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)求橢圓的方程;

(2)如圖7,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn),且,. 求四邊形面積的最大值.

 

【答案】

(1)橢圓的方程為.(2)以四邊形的面積的最大值為。

【解析】

試題分析:(1)依題意,設(shè)橢圓的方程為

構(gòu)成等差數(shù)列,

,

,

橢圓的方程為.  4分 

(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中,得.              5分

由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知,

化簡(jiǎn)得:.                        7分

設(shè),,    9分

(法一)當(dāng)時(shí),設(shè)直線的傾斜角為,

,

,       

, 11分

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),四邊形是矩形,.   13分

所以四邊形面積的最大值為.    14分

(法二),

四邊形的面積, 11分 

.   13分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,故

所以四邊形的面積的最大值為.     14分

考點(diǎn):本題主要考查等差數(shù)列,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,面積計(jì)算。

點(diǎn)評(píng):中檔題,曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓、標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。解題過程中,運(yùn)用等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)求得了a,b,c的關(guān)系。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知兩點(diǎn),點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上,且、、構(gòu)成等差數(shù)列.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn),且,

. 求四邊形面積的最大值.

 

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(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn),且,. 求四邊形面積的最大值.

 

 

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已知兩點(diǎn),點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上,且、 構(gòu)成等差數(shù)列.

(1)求橢圓的方程;

(2)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn),且,. 求四邊形面積的最大值.

 

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(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),

點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn),且,

求四邊形面積的最大值.

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