已知兩點(diǎn)及,點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上,且、、構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖7,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn),且,. 求四邊形面積的最大值.
(1)橢圓的方程為.(2)以四邊形的面積的最大值為。
【解析】
試題分析:(1)依題意,設(shè)橢圓的方程為.
構(gòu)成等差數(shù)列,
, .
又,.
橢圓的方程為. 4分
(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中,得. 5分
由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知,,
化簡(jiǎn)得:. 7分
設(shè),, 9分
(法一)當(dāng)時(shí),設(shè)直線的傾斜角為,
則,
,
, 11分
,當(dāng)時(shí),,,.
當(dāng)時(shí),四邊形是矩形,. 13分
所以四邊形面積的最大值為. 14分
(法二),
.
.
四邊形的面積, 11分
. 13分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,故.
所以四邊形的面積的最大值為. 14分
考點(diǎn):本題主要考查等差數(shù)列,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,面積計(jì)算。
點(diǎn)評(píng):中檔題,曲線關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓、標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。解題過程中,運(yùn)用等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)求得了a,b,c的關(guān)系。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年云南省部分名校高三12月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知兩點(diǎn)及,點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上,且、、構(gòu)成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn),且,
. 求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年云南省部分名校高三12月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知兩點(diǎn)及,點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上,且、、構(gòu)成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn),且,. 求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年浙江省寧波市鄞州區(qū)高三5月適應(yīng)性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知兩點(diǎn)及,點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上,且、、 構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn),且,. 求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知兩點(diǎn)及,點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上,且、、構(gòu)成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),
點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn),且,.
求四邊形面積的最大值.
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