Question

如圖1­5所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分別為AC，DC的中點．

(1)求證：EF⊥BC；

(2)求二面角E­BF­C的正弦值．

圖1­5

Answer 1

解：(1)證明：方法一，過點E作EO⊥BC，垂足為O，連接OF.由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FOC，所以∠EOC＝∠FOC＝，即FO⊥BC.又EO⊥BC，EO∩FO＝O，所以BC⊥平面EFO.又EF⊂平面EFO，所以EF⊥BC.

圖1

方法二，由題意，以B為坐標(biāo)原點，在平面DBC內(nèi)過B作垂直BC的直線，并將其作為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線，并將其作為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，D(，－1，0)，C(0，2，0)，因而E(0，，)，F(，，0)，所以＝0，

從而，所以EF⊥BC.

圖2

(2)方法一，在圖1中，過點O作OG⊥BF，垂足為G，連接EG.因為平面ABC⊥平面BDC，所以EO⊥面BDC，又OG⊥BF，所以由三垂線定理知EG⊥BF，

因此∠EGO為二面角E­BF­C的平面角．

在△EOC中，EO＝EC＝BC·cos 30°＝.

由△BGO∽△BFC知，OG＝·FC＝，因此tan∠EGO＝＝2，從而得sin∠EGO＝，即二面角E­BF­C的正弦值為.

方法二，在圖2中，平面BFC的一個法向量為n₁＝(0，0，1)．

設(shè)平面BEF的法向量n₂＝(x，y，z)，

又＝(，，0)，＝(0，，)，

所以得其中一個n₂＝(1，－，1)．

設(shè)二面角E­BF­C的大小為θ，且由題知θ為銳角，則cos θ＝|cos〈n₁，n₂〉|＝＝，

因此sin θ＝＝，即所求二面角正弦值為.