Question

如圖，在四棱錐S—ABCD中，側(cè)棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC與BD交于O點(diǎn).

（1）求證：AC⊥平面SBD；

（2）若E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持PE⊥AC，試指出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

(1)證明：∵底面ABCD是菱形，O為中心,

∴AC⊥BD.

又SA=SC，

∴AC⊥SO.而SO∩BD=O，

∴AC⊥面SBD.

(2)解:取棱SC中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N，連結(jié)MN，

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡即是線段MN.

證明：連結(jié)EM、EN，

∵E是BC中點(diǎn)，M是SC中點(diǎn)，

∴EM∥SB.同理,EN∥BD，∵AC⊥面SBD,∴AC⊥SB.

∴AC⊥EM.10分

同理,AC⊥EN，

又EM∩EN=E，

∴AC⊥面EMN.

因此，當(dāng)P點(diǎn)在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有AC⊥EP;

P點(diǎn)不在線段MN上時(shí)，不可能有AC⊥EP.