Question

已知是等差數(shù)列，為公差且不等于，和均為實(shí)數(shù)，它的前項(xiàng)和記作，設(shè)集合，，試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明．

（Ⅰ）若以集合中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在一條直線上；

（Ⅱ）至多有一個(gè)元素；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，一定有．

Answer 1

解析：（Ⅰ）正確．

因?yàn)�，在等差�?shù)列中，，所以，．

這表明點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程．

所以，點(diǎn)均在直線上．　　　……………………………………………5分

（Ⅱ）正確．

設(shè)，則坐標(biāo)中的、應(yīng)是方程組的解．

解這個(gè)方程組，消去，得．（）

當(dāng)時(shí)，方程（）無解，此時(shí)，．　　　……………………………10分

當(dāng)時(shí)，方程（）只有一個(gè)解，

此時(shí)方程組也只有一個(gè)解，即 

故上述方程組至多有一解，所以至多有一個(gè)元素．　　　………………………15分

（Ⅲ）不正確．

取，，對一切，有，．

這時(shí)集合中的元素的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為正．

另外，由于，如果，那么根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論，

至多有一個(gè)元素（），而，．

這樣的，產(chǎn)生矛盾．所以，，時(shí)，，

故時(shí)，一定有是不正確的．　　　……………………………………20分