Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常數(shù)，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不為1的等比數(shù)列．
（I）求c的值；
（II）求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（III）由數(shù)列{a_n}中的第1、3、9、27、…項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{b_n}，求

lim

n→∞

bn+1

bn

的值．

Answer 1

（I）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因?yàn)閍₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．
當(dāng)c=0時(shí)，a₁=a₂=a₃，不符合題意舍去，故c=2．
（II）當(dāng)n≥2時(shí)，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以an-a1=[1+2++(n-1)]c=

n(n-1)

2

c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）
（III）b_n=3^2n-2-3^n-1+2，
∴

lim

n→∞

bn+1

bn

=9．