精英家教網(wǎng)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是菱形,AC∩BD=O,△PAC是邊長為2的等邊三角形,PB=PD=
6
,AP=4AF.
(Ⅰ)求證:PO⊥底面ABCD;
(Ⅱ)求直線CP與平面BDF所成角的大;
(Ⅲ)在線段PB上是否存在一點(diǎn)M,使得CM∥平面BDF?如果存在,求
BM
BP
的值,如果不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)證明PO⊥底面ABCD,只需證明PO⊥AC,PO⊥BD;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線CP的方向向量,平面BDF的法向量,利用向量的夾角公式可求直線CP與平面BDF所成角的大;
(Ⅲ)設(shè)
BM
BP
=λ(0≤λ≤1),若使CM∥平面BDF,需且僅需
.
CM
n
=0且CM?平面BDF,即可得出結(jié)論.
解答:精英家教網(wǎng)(Ⅰ)證明:因為底面ABCD是菱形,AC∩BD=O,
所以O(shè)為AC,BD中點(diǎn).-------------------------------------(1分)
又因為PA=PC,PB=PD,
所以PO⊥AC,PO⊥BD,---------------------------------------(3分)
所以PO⊥底面ABCD.----------------------------------------(4分)
(Ⅱ)解:由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD,
又由(Ⅰ)可知PO⊥AC,PO⊥BD.
如圖,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
由△PAC是邊長為2的等邊三角形,PB=PD=
6
,
可得PO=
3
,OB=OD=
3

所以A(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,
3
,0),P(0,0,
3
)
.---------------------------------------(5分)
所以
CP
=(1,0,
3
)
,
AP
=(-1,0,
3
)

由已知可得
OF
=
OA
+
1
4
AP
=(
3
4
,0,
3
4
)
-----------------------------------------(6分)
設(shè)平面BDF的法向量為
.
n
=(x,y,z),則
3
y=0
3
4
x+
3
4
z=0

令x=1,則z=-
3
,所以
n
=(1,0,-
3
).----------------------------------------(8分)
因為cos
CP
,
n
>=
CP
n
|
CP
||
n
|
=-
1
2
,----------------------------------------(9分)
所以直線CP與平面BDF所成角的正弦值為
1
2

所以直線CP與平面BDF所成角的大小為30°.-----------------------------------------(10分)
(Ⅲ)解:設(shè)
BM
BP
=λ(0≤λ≤1),則
CM
=
CB
+
BM
=
CB
BP
=(1,
3
(1-λ),
3
λ)
.---------------------------------(11分)
若使CM∥平面BDF,需且僅需
.
CM
n
=0且CM?平面BDF,---------------------(12分)
解得λ=
1
3
∈[0,1]
,----------------------------------------(13分)
所以在線段PB上存在一點(diǎn)M,使得CM∥平面BDF.
此時
BM
BP
=
1
3
.-----------------------------------(14分)
點(diǎn)評:本題考查線面垂直,考查線面平行,考查線面角,考查向量知識的運(yùn)用,正確求出向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.
(1)求證:CM∥平面PAD;
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求證:
(1)PA∥平面BDE;
(2)AC⊥平面PBD.

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如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB=2,M為PD上的點(diǎn),若PD⊥平面MAB
(I)求證:M為PD的中點(diǎn);
(II)求二面角A-BM-C的大小.

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