分析:(Ⅰ)證明PO⊥底面ABCD,只需證明PO⊥AC,PO⊥BD;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線CP的方向向量,平面BDF的法向量,利用向量的夾角公式可求直線CP與平面BDF所成角的大;
(Ⅲ)設(shè)
=λ(0≤λ≤1),若使CM∥平面BDF,需且僅需
•=0且CM?平面BDF,即可得出結(jié)論.
解答:(Ⅰ)證明:因為底面ABCD是菱形,AC∩BD=O,
所以O(shè)為AC,BD中點(diǎn).-------------------------------------(1分)
又因為PA=PC,PB=PD,
所以PO⊥AC,PO⊥BD,---------------------------------------(3分)
所以PO⊥底面ABCD.----------------------------------------(4分)
(Ⅱ)解:由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD,
又由(Ⅰ)可知PO⊥AC,PO⊥BD.
如圖,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
由△PAC是邊長為2的等邊三角形,
PB=PD=,
可得
PO=,OB=OD=.
所以
A(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,,0),P(0,0,).---------------------------------------(5分)
所以
=(1,0,),
=(-1,0,).
由已知可得
=+=(,0,)-----------------------------------------(6分)
設(shè)平面BDF的法向量為
=(x,y,z),則
令x=1,則
z=-,所以
=(1,0,-
).----------------------------------------(8分)
因為cos
<,>==-
,----------------------------------------(9分)
所以直線CP與平面BDF所成角的正弦值為
,
所以直線CP與平面BDF所成角的大小為30°.-----------------------------------------(10分)
(Ⅲ)解:設(shè)
=λ(0≤λ≤1),則
=+=+λ=(1,(1-λ),λ).---------------------------------(11分)
若使CM∥平面BDF,需且僅需
•=0且CM?平面BDF,---------------------(12分)
解得
λ=∈[0,1],----------------------------------------(13分)
所以在線段PB上存在一點(diǎn)M,使得CM∥平面BDF.
此時
=
.-----------------------------------(14分)