Question

已知函數

（I）若函數上是減函數，求實數的最小值；

（2）若，使（）成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）  ；（II）.

【解析】

試題分析：（I）函數在上是減函數，即導函數在恒大于等于，轉化為函數的最值問題，求得的最小值。（II）存在性問題，仍轉化為函數的最值問題，即的最小值小于等于導函數的最大值加。的最大值易求，的最值問題利用導數法求最值的方法即可.

試題解析：（I）因在上為減函數，故在上恒成立,

所以當時，,又,

設,則，故當時，即時，,解得，所以的最小值為．    

（II）命題“若使成立”，等價于“當時，有”,   由（I）知，當時，，,  問題等價于：“當時，有”，

當時，, 在上為減函數，則，故．  

當時，,由于在上為增函數，故的值域為，即,由的單調性和值域知，唯一，使，且滿足：當時，，為減函數；當時，，為增函數；由=，，所以，，與矛盾，不合題意．

綜上所述，得．

考點： 1、利用導數判斷函數單調性的逆用;2、利用導數求函數最值的綜合應用.