Question

如圖，已知是長軸為的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，過橢圓中心，且.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；
(2)如果橢圓上兩點(diǎn)使直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)使?請給出證明．

Answer 1

(1)(2) 存在實(shí)數(shù)使證明：設(shè)直線的方程為，所以直線的方程為由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得
，所以同理
又，所以，所以，即存在實(shí)數(shù)使成立

試題分析：(1)以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，橢圓方程可設(shè)為

而為橢圓中心，由對稱性知
又，所以
又，所以
所以為等腰直角三角形，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
將 代入橢圓方程得   則橢圓方程為
(2)由直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，設(shè)直線的斜率為，
則直線的斜率為，直線的方程為，
直線的方程為
由橢圓方程與直線的方程聯(lián)立，消去得
     ①
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002620465506.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上，所以是方程①的一個(gè)根，于是
  同理
這樣，
又，所以
即.所以，即存在實(shí)數(shù)使.
點(diǎn)評(píng)：本題對于高二文科學(xué)生有一定的難度，可區(qū)分出優(yōu)秀學(xué)生與一般學(xué)生