Question

在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，AB=

2

AD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M、N分別是PA、PB的中點．
（1）求證：直線MN∥平面PDC；
（2）若∠CND=90°，求證：直線DN⊥平面PBC；
（3）若AB=2，求棱錐B-PAC的體積．

Answer 1

分析：（1）因為M、N是PA、PB中點，結(jié)合三角形中位線定理得MN∥AB，從而MN∥CD，由線面平行的判定定理證得MN∥平面PDC；
（2）因為DN⊥PB，DN⊥CD，由線面垂直判定定理得直線DN⊥平面PBC；
（3）用等體積法，求V_P-ABC相應(yīng)的高PD和底為ABC，再用體積公式即可．

解答：（1）證明：∵M、N是PA、PB中點，
∴MN∥AB，從而MN∥CD．（2分）
∵MN在平面PDC外，CD在平面PDC內(nèi)，
∴直線MN∥平面PDC；（4分）

（2）證明：∵AB⊥AD，AB=

2

AD，
∴BD=

3

AD．
∵PD⊥底面ABCD，
直線PA與底面ABCD成60°角，
∴PD=

3

AD．∴PD=BD．（6分）
∵N是PB的中點，∴DN⊥PB．
∵∠CND=90°，∴DN⊥CD．
∵PB、CN相交于一點N，
∴直線DN⊥平面PBC；（10分）

（3）V_B-PAC
=V_P-ABC
=

1

3

S△ABC•PD
=

1

3

•

1

2

AB•AD•PD
=

2 3

3

．（14分）

點評：本題主要考查線面平行和線面垂直的判定定理以及線線平行垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化．