Question

【題目】2018年11月5日至10日，首屆中國國際進口博覽會在國家會展中心（上海）舉行，吸引過來58個“一帶一路”沿線國家的超過1000多家企業(yè)參展，成為共建“一帶一路”的又一個重要支撐。某企業(yè)為了參加這次盛會，提升行業(yè)競爭力，加大了科技投入；該企業(yè)連續(xù)6年來得科技投入（百萬元）與收益（百萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

根據(jù)散點圖的特點，甲認(rèn)為樣本點分布在指數(shù)曲線的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進行了一些初步處理，如下表：

其中，．

（1）（）請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（保留一位小數(shù)）；

（）根據(jù)所建立回歸方程，若該企業(yè)想在下一年的收益達到2億，則科技投入的費用至少要多少（其中）？

（2）乙認(rèn)為樣本點分布在二次曲線的周圍，并計算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關(guān)指數(shù)，試比較甲乙兩位員工所建立的模型，誰的擬合效果更好．

附：對于一組數(shù)據(jù)，，……，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，，相關(guān)指數(shù)：．

Answer 1

【答案】（1）（i）；（ii）;（2）甲建立的回歸模型擬合效果更好

【解析】

（1）通過，將非線性回歸問題，轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，利用線性回歸直線方程計算公式計算出線性回歸直線，再還原為非線性回歸方程.并由此列不等式，求得科技投入的費用至少需要的值.

（2）計算出模型甲殘差平方和，由此計算出模型甲的相關(guān)指數(shù)，比較甲乙兩個模型的相關(guān)指數(shù)，由此確定擬合效果較好的模型.

（1）（），令．

令，則，根據(jù)最小二乘估計可知．

從而，故回歸方程為，也即．

（）設(shè)，解得=>．

（2）先計算殘差：

則，從而．

即甲建立的回歸模型擬合效果更好．