如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
(Ⅰ)求證:AO⊥平面BCD;
(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的余弦;
(Ⅲ)求點E到平面ACD的距離.
【答案】分析:(I)連接OC,由BO=DO,AB=AD,知AO⊥BD,由BO=DO,BC=CD,知CO⊥BD.在△AOC中,由題設(shè)知,AC=2,故AO2+CO2=AC2,由此能夠證明AO⊥平面BCD.
(II)取AC的中點M,連接OM、ME、OE,由E為BC的中點,知ME∥AB,OE∥DC,故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.在△OME中,,由此能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦.
(III)設(shè)點E到平面ACD的距離為h.在△ACD中,,故=,由AO=1,知,由此能求出點E到平面ACD的距離.
解答:(I)證明:連接OC,∵BO=DO,AB=AD,∴AO⊥BD,
∵BO=DO,BC=CD,∴CO⊥BD.
在△AOC中,由題設(shè)知,AC=2,
∴AO2+CO2=AC2
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.
∵AO⊥BD,BD∩OC=O,
∴AO⊥平面BCD.
(II)解:取AC的中點M,連接OM、ME、OE,由E為BC的中點,
知ME∥AB,OE∥DC,
∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.
在△OME中,,…(6分)
∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線,∴,…(7分)

∴異面直線AB與CD所成角大小的余弦為;…(8分)
(III)解:設(shè)點E到平面ACD的距離為h.
…(9分)
在△ACD中,,
=
∵AO=1,,
==,
∴點E到平面ACD的距離為
點評:本題考查點、線、面間的距離的計算,考查空間想象力和等價轉(zhuǎn)化能力,解題時要認真審題,仔細解答,注意化立體幾何問題為平面幾何問題.
練習冊系列答案
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6

(I)求證:AO⊥平面BCD;
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如圖,四面體ABCD中,O.E分別為BD.BC的中點,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
2

(1)求證:AO⊥平面BCD;
(2)求 異面直線AB與CD所成角的余弦值.

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2
2
a

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精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,AO⊥平面BCD,CA=CB=CD=BD=2.
(1)求證:面ABD⊥面AOC;
(2)求異面直線AE與CD所成角的大。

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