Question

（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分、第3小題滿分6分．
已知的頂點在橢圓上，在直線上，
且．
（1）求邊中點的軌跡方程；
（2）當邊通過坐標原點時，求的面積；
（3）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．

Answer 1

（1）（2）
（3）

（1）設所在直線的方程為
由得．                （2分）
因為在橢圓上，所以．
設兩點坐標分別為，中點為
則， ，
所以中點軌跡方程為          （4分）
（2），且邊通過點，故所在直線的方程為．
此時，由（1）可得，所以  （6分）
又因為邊上的高等于原點到直線的距離，所以      （8分）
．                                      （10分）
（3）由（1）得，，
所以．                         （12分）
又因為的長等于點到直線的距離，即． （14分）
所以．
所以當時，邊最長，（這時）
此時所在直線的方程為．                         （16分）