Question

已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若對(duì)任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，求實(shí)數(shù)k的最小值；
（3）證明：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，利用函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，即可求得a的值；
（2）當(dāng)k≤0時(shí)，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合題意；當(dāng)k＞0時(shí)，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，求導(dǎo)函數(shù)，令g′（x）=0，可得x₁=0，，分類討論：①當(dāng)k≥時(shí)，，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0）=0；②當(dāng)0＜k＜時(shí)，，對(duì)于，g′（x）＞0，因此g（x）在上單調(diào)遞增，，由此可確定k的最小值；
（3）當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=2-ln3＜2=右邊，不等式成立；當(dāng)n≥2時(shí)，，在（2）中，取k=，得f（x）≤x²，從而可得，由此可證結(jié)論．
解答：（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?a，+∞），求導(dǎo)函數(shù)可得
令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a
令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a；令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a
∴x=1-a時(shí)，函數(shù)取得極小值且為最小值
∵函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，
∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1
（2）解：當(dāng)k≤0時(shí)，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合題意
當(dāng)k＞0時(shí)，令g（x）=f（x）-kx²，即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，
求導(dǎo)函數(shù)可得g′（x）=
g′（x）=0，可得x₁=0，
①當(dāng)k≥時(shí)，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而對(duì)任意的x∈[0，+∞），總有g(shù)（x）≤g（0）=0，即對(duì)任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立；
②當(dāng)0＜k＜時(shí)，，對(duì)于，g′（x）＞0，因此g（x）在上單調(diào)遞增，
因此取時(shí)，g（x）≥g（0）=0，即有f（x）≤kx²不成立；
綜上知，k≥時(shí)對(duì)任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，k的最小值為
（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=2-ln3＜2=右邊，所以不等式成立
當(dāng)n≥2時(shí)，
在（2）中，取k=，得f（x）≤x²，∴（i≥2，i∈N^*）．
∴=f（2）+＜2-ln3+=2-ln3+1-＜2
綜上，（n∈N^*）．
點(diǎn)評(píng)：試題分為三問，題面比較簡單，給出的函數(shù)比較常規(guī)，因此入手對(duì)于同學(xué)們來說沒有難度，第二問中，解含參數(shù)的不等式時(shí)，要注意題中參數(shù)的討論所有的限制條件，從而做到不重不漏；第三問中，證明不等式，應(yīng)借助于導(dǎo)數(shù)證不等式的方法進(jìn)行．