已知橢圓M:,其短軸的一個端點到右焦點的距離為2,且點A(,1)在橢圓M上.直線l的斜率為,且與橢圓M交于B、C兩點.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)求△ABC面積的最大值.
【答案】分析:(Ⅰ)把點A代入橢圓方程,結合a=2解出b,則橢圓的標準方程可求;
(Ⅱ)寫出直線的點斜式方程,和橢圓方程聯(lián)立后化為關于x的一元二次方程,由判別式大于0解出m的范圍,求出相應的兩個根,由點到直線的距離公式求出A到BC邊的距離,寫出面積后利用基本不等式求面積的最大值,驗證得到的m值符合判別式大于0.
解答:解:(Ⅰ)由題意知,解得
故所求橢圓方程為;
(Ⅱ) 設直線l的方程為,則m≠0.
設B(x1,y1),C(x2,y2),
代入橢圓方程并化簡得,
由△=2m2-4(m2-2)=2(4-m2)>0,可得0<m2<4①.
由①,得,

又點A到BC的距離為,

=
當且僅當m2=4-m2,即m=時取等號,滿足①式.
所以△ABC面積的最大值為
點評:本題考查了橢圓的標準方程,考查了直線和圓錐曲線的關系,訓練了弦長公式的用法,考查了利用基本不等式求最值,考查了學生的計算能力,屬難題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•昌平區(qū)一模)已知橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,其短軸的一個端點到右焦點的距離為2,且點A(
2
,1)在橢圓M上.直線l的斜率為
2
2
,且與橢圓M交于B、C兩點.
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)求△ABC面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2006•東城區(qū)二模)已知橢圓M的兩個焦點分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),P是此橢圓上的一點,且
PF1
PF2
=0
,
|PF1|
|PF2|
=8

(1)求橢圓M的方程;
(2)點A是橢圓M短軸的一個端點,且其縱坐標大于零,B、C是橢圓上不同于點A的兩點,若△ABC的重心是橢圓的右焦點,求直線BC的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知橢圓C:數(shù)學公式,其短軸的端點分別為A,B(如圖),直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F(xiàn)兩點,其中點M (m,數(shù)學公式) 滿足m≠0,且數(shù)學公式
(Ⅰ)求橢圓C的離心率e;
(Ⅱ)用m表示點E,F(xiàn)的坐標;
(Ⅲ)證明直線EF與y軸交點的位置與m無關.

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科目:高中數(shù)學 來源:2013年北京市豐臺區(qū)高考數(shù)學二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C:,其短軸的端點分別為A,B(如圖),直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F(xiàn)兩點,其中點M (m,) 滿足m≠0,且
(Ⅰ)求橢圓C的離心率e;
(Ⅱ)用m表示點E,F(xiàn)的坐標;
(Ⅲ)證明直線EF與y軸交點的位置與m無關.

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