Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=

5

，BC=4，點(diǎn)A₁在底面ABC的射影是BC中點(diǎn)O．
（1）若P是B₁C上的動(dòng)點(diǎn)，在AA₁上找一點(diǎn)E，使OE⊥OP恒成立；
（2）求直線AC₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)AO，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AA₁，垂足為E．根據(jù)等腰三角形“三線合一”證出AO⊥BC，結(jié)合A₁O⊥BC證出BC⊥平面A₁AO，從而OE⊥BC．由AA₁∥BB₁且OE⊥AA₁，證出OE⊥BB₁，得到OE⊥平面BB₁C₁C，結(jié)合OP?平面BB₁C₁C得OE⊥OP．最后利用題中數(shù)據(jù)在RtRt△A₁AO中算出AE=

1

5

AA₁，得當(dāng)點(diǎn)E點(diǎn)滿足AE=

1

5

AA₁時(shí)，OE⊥OP恒成立；
（2）連結(jié)AC₁，交A₁C于點(diǎn)F，根據(jù)（1）的結(jié)論算出A₁C=2

2

，等腰△AA₁C中算出AF=

3

，從而AC₁=2AF=2

3

．Rt△AA₁O中算出OE=

2 5

5

，由OE⊥平面BB₁C₁C且AA₁∥平面BB₁C₁C，得到點(diǎn)A到平面平面BB₁C₁C的距離d=

2 5

5

，最后根據(jù)直線與平面所成角的定義及性質(zhì)，即可算出AC₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

解答：解：（1）連結(jié)AO，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AA₁，垂足為E
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁∥BB₁，∴OE⊥BB₁，
∵AB=AC，O為BC的中點(diǎn)，∴AO⊥BC，
∵A₁O⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁O⊥BC，
∵AO∩A₁O=A，∴BC⊥平面A₁AO
∵OE?平面A₁AO，∴OE⊥BC，
∵BC、BB₁是平面BB₁C₁C內(nèi)的相交直線，∴OE⊥平面BB₁C₁C．
∵OP?平面BB₁C₁C，∴OE⊥OP，
∵△ABC中，AB=AC=

5

，BC=4，∴中線AO=

AB2-( 1 2 BC)2

=1，
∵Rt△A₁AO中，AA₁=

5

，∴A₁O=

AA12-AO2

=2，
∵OE是Rt△A₁AO斜邊A₁A上的高線，∴

A1E

AE

=

A1O2

AO2

=4，可得AE=

1

5

AA₁，
∴當(dāng)在AA₁上的點(diǎn)E點(diǎn)滿足AE=

1

5

AA₁時(shí)，OE⊥OP恒成立；
（2）連結(jié)AC₁，交A₁C于點(diǎn)F
由（1）可得：Rt△A₁OC中，A₁C=

A1O2+OC2

=2

2

∵△AA₁C中，AC=AA₁=

5

，∴AF=

AC2-( 1 2 A1C)2

=

3

．
因此，菱形AA₁C₁C中，AC₁=2AF=2

3

∵AA₁∥平面BB₁C₁C，OE⊥平面BB₁C₁C，∴AA₁到平面平面BB₁C₁C的距離等于OE，
Rt△AA₁O中，OE=

AO•A1O

AA1

=

1•2

5

=

2 5

5

，即AA₁到平面平面BB₁C₁C的距離等于

2 5

5

．
∴點(diǎn)A到平面平面BB₁C₁C的距離d=

2 5

5

，
設(shè)直線AC₁與平面BB₁C₁C所成角為α，可得sinα=

d

AC1

=

2 5 5

2 3

=

15

15

，
即直線AC₁與平面BB₁C₁C所成角的正弦值等于

15

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊三棱柱中求證線面垂直、線線垂直，并求直線與平面所成角的正弦之值，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的判斷與證明和直線與平面所成角的定義及其性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．