【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣alnx,(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內的極值點的個數(shù);
(2)設g(x)=﹣ ,若不等式f(x)>g(x)對任意x∈[1,e]恒成立,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:f(x)=x﹣alnx,(x>0),

f′(x)=1﹣ = ,

①a≤0時,f′(x)>0,f(x)遞增,f(x)無極值;

②a>0時,令f′(x)>0,解得:x>a,令f′(x)<0,解得:0<x<a,

∴f(x)在(0,a)遞減,在(a,+∞)遞增,

f(x)有1個極小值點;


(2)解:若不等式f(x)>g(x)對任意x∈[1,e]恒成立,

令h(x)=f(x)﹣g(x),即h(x)最小值>0在[1,e]恒成立,

則h(x)=x﹣alnx+ (a∈R),

∴h′(x)=1﹣ = ,

①當1+a≤0,即a≤﹣1時,在[1,e]上為增函數(shù),f(x)min=f(1)=1+1+a>0,

解得:a>﹣2,即﹣2<a≤﹣1,

當a>﹣1時

①當1+a≥e時,即a≥e﹣1時,f(x)在[1,e]上單調遞減,

∴f(x)min=f(e)=e+ ﹣a>0,解得a<

>e﹣1,

∴e﹣1≤a< ;

②當0<1+a≤1,即﹣1<a≤0,f(x)在[1,e]上單調遞增,

∴f(x)min=f(1)=1+1+a>0,

解得a>﹣2,故﹣2<a<﹣1;

③當1<1+a<e,即0<a<e﹣1時,f(x)min=f(1+a),

∵0<ln(1+a)<1,

∴0<aln(1+a)<a,

∴f(1+a)=a+2﹣aln(1+a)>2,此時f(1+a)>0成立,

綜上,﹣2<a< 時,不等式f(x)>g(x)對任意x∈[1,e]恒成立


【解析】(1)先求導,再分類討論,得到函數(shù)的單調區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值點的個數(shù);(2)由題意,只要求出函數(shù)f(x)min>0即可,利用導數(shù)和函數(shù)的最值的關系,進行分類討論,即可得到a的范圍.
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數(shù)的極值與導數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值),還要掌握函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)(求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵.

練習冊系列答案
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B.
C.
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