Question

已知曲線C：

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)．
（1）曲線C經(jīng)過點(diǎn)(

3

，

1

2

)，求b的值；
（2）動(dòng)點(diǎn)（x，y）在曲線C，求x²+2y的最大值；
（3）由曲線C的方程能否確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）？如能，寫出解析式；如不能，再加什么條件就可使x、y間建立函數(shù)關(guān)系，并寫出解析式．

Answer 1

分析：（1）由題意將點(diǎn)(

3

，

1

2

)，代入求b的值即可；
（2）動(dòng)點(diǎn)（x，y）在曲線C上，可把x²用y表示出來，將x²+2y表示成y的函數(shù)，此是一個(gè)關(guān)于y的二次函數(shù)，配方后對(duì)b的取值范圍根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行討論求最值即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可，由于本題中可以出現(xiàn)一對(duì)二的對(duì)應(yīng)，故不是函數(shù)，證明方法用函數(shù)的定義進(jìn)行證明．

解答：解：（1）

3 2

4

+

1

4b2

=1(b＞0)∴b=1；
（2）根據(jù)

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)得x2=4(1-

y2

b2

)，∴x2+2y=4(1-

y2

b2

)+2y=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4(-b≤y≤b)，當(dāng)

b2

4

≥b時(shí)，即b≥4時(shí)(x2+2y)max=2b+4，
當(dāng)

b2

4

≤b時(shí)，即0≤b≤4時(shí)(x2+2y)max=

b2

4

+4，
∴(x2+2y)max=

2b+4，b≥4 b2 4 +4，0≤b＜4

；
（3）不能，如再加條件xy＜0就可使x、y之間建立函數(shù)關(guān)系，
解析式y=

- 1- x2 b2  x＞0 1- x2 b2 ，x＜0

（不唯一，也可其它答案）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的給定運(yùn)用，考查了與方程有關(guān)的解析式的最值的求法，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，這是與方程有關(guān)的問題經(jīng)常采用的一個(gè)思路，本小題易出錯(cuò)，第三問對(duì)函數(shù)的定義的考查較簡(jiǎn)單．