已知直線l：y=x+1與橢圓3x2+y2=2相交于A，B兩點，O為坐標原點，
（1）求證：OA⊥OB；
（2）如果直線l向下平移1個單位得到直線m，試求橢圓截直線m所得線段的長度．
分析：（1）由
y=x+1
3x 2+y2=2
解得A(
-1+
5
4
，
3+
5
4
)，B(
-1-
5
4
，
3-
5
4
)．由此能夠證明OA⊥OB．
（2）直線l向下平移1個單位得到直線m：y=x，聯(lián)立得到
y=x
3x2+y2=2
解得  
x=
2
2
y=
2
2
或
x=-
2
2
y=-
2
2
，由此能求出截得的線段長．
解答：解：（1）證明：直線l：y=x+1與橢圓3x2+y2=2相交于A，B兩點，
得
y=x+1
3x 2+y2=2
，
消去y得4x2+2x-1=0，
解得x1=
-1+
5
4
，x2=
-1-
5
4
，
所以A(
-1+
5
4
，
3+
5
4
)，B(
-1-
5
4
，
3-
5
4
)．
所以
OA
•
OB
=(
-1+
5
4
，
3+
5
4
)(
-1-
5
4
，
3-
5
4
)=0
∴
OA
⊥
OB
，
∴OA⊥OB．
（2）直線l向下平移1個單位得到直線m：y=x，
聯(lián)立得到
y=x
3x2+y2=2
，
解得
x=
2
2
y=
2
2
或
x=-
2
2
y=-
2
2
，
所以截得的線段長為2．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：y=x+k經(jīng)過橢圓C：
x2
a2
+
y2
a2-1
=1，(a＞1)的右焦點F2，且與橢圓C交于A、B兩點，若以弦AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的左焦點F1，試求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：y=x+1和圓C：x2+y2=
12
，則直線l與圓C的位置關系為
相切
相切
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：y=-x+1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點，且線段AB的中點為（
2
3
， 
1
3
)．
（1）求此橢圓的離心率．
（2）若橢圓右焦點關于直線l：y=-x+1的對稱點在圓x2+y2=5上，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•菏澤一模）已知直線l：y=x+
6
，圓O：x2+y2=5，橢圓E：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
3
．直線l截圓O所得的弦長與橢圓的短軸長相等．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線．若切線都存在斜率，求證這兩條切線互相垂直．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：y=x+2，與拋物線x2=y交于A（xA，yA），B（xB，yB）兩點，l與x軸交于點C（xC，0）．
（1）求證：
1
xA
+
1
xB
=
1
xC
；
（2）求直線l與拋物線所圍平面圖形的面積；
（3）某同學利用TI-Nspire圖形計算器作圖驗證結果時（如圖1所示），嘗試拖動改變直線l與拋物線的方程，發(fā)現(xiàn)
1
xA
+
1
xB
與
1
xC
的結果依然相等（如圖2、圖3所示），你能由此發(fā)現(xiàn)出關于拋物線的一般結論，并進行證明嗎？精英家教網(wǎng)

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