Question

16、已知函數(shù)f（x）=x²+ax，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）充分利用題中條件：“f （1+x）=f （1-x）”，代入計(jì)算結(jié)合兩式恒等即可求得實(shí)數(shù) a的值．
（2）欲證明證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，即要證明如果對(duì)于屬于[1，+∞）區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x₁、x₂，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)都有f（x₁）＜f（x₂）．那么就說(shuō)f（x）在 這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)．

解答：解：（1）由f（1+x）=f（1-x）得，
（1+x）²+a（1+x）=（1-x）²+a（1-x），
整理得：（a+2）x=0，
由于對(duì)任意的x都成立，∴a=-2．
（2）根據(jù)（1）可知f（x）=x²-2x，下面證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．
設(shè)x₁＞x₂≥1，則f（x₁）-f（x₂）=（x₁²-2x₁）-（x₂²-2x₂）
=（x₁²-x₂²）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）
∵x₁＞x₂≥1，則x₁-x₂＞0，且x₁+x₂-2＞2-2=0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性．函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)局部概念．