Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函數(shù)（a，b，c都是整數(shù)），且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）當(dāng)x＜0，f（x）的單調(diào)性如何？用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x），對(duì)定義域內(nèi)x恒成立可求得c值，再利用條件列出關(guān)于a，b的關(guān)系結(jié)合a，b，c都是整數(shù)即可解決．
（2）利用常見(jiàn)函數(shù)y=x+

1

x

的單調(diào)性先判斷單調(diào)性，再利用單調(diào)性定義進(jìn)行證明．

解答：解：（1）由f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函數(shù)，
得f（-x）=-f（x）對(duì)定義域內(nèi)x恒成立，則

a(-x)2+1

b(-x)+c

=-

ax2+1

bx+c

?-bx+c=-（bx+c）對(duì)定義域內(nèi)x恒成立，即c=0．
又

f(1)=2 f(2)＜3

?

a+1 b =2① 4a+1 2b ＜3②

由①得a=2b-1代入②得

2b-3

2b

＜0?0＜b＜

3

2

，又a，b，c是整數(shù)，得b=a=1．
（2）由（1）知，f（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，
當(dāng)x＜0，f（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增，在[-1，0）上單調(diào)遞減．以下用定義證明．
設(shè)x₁＜x₂≤-1，則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）
=x₁-x₂+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
因?yàn)閤₁＜x₂≤-1，x₁-x₂＜0，1-

1

x1x2

＞0．
f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增．
同理，可證f（x）在[-1，0）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用和函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．運(yùn)用函數(shù)的定義判斷證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：（1）取值；（2）作差變形；（3）定號(hào)；（4）下結(jié)論．