Question

觀察下列等式：
①sin2θ=cosθ•2sinθ
②sin4θ=cosθ（4sinθ-8sin³θ）
③sin6θ=cosθ（6sinθ-32sin³θ+32sin⁵θ）
④sin8θ=cosθ（8sinθ-80sin³θ+192sin⁵θ-128sin⁷θ）
⑤sin10θ=cosθ（10sinθ-160sin³θ+msin⁵θ-1024sin⁷θ+nsin⁹θ）
則可以推測(cè)（1）n=

 

；（2）m=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：推理和證明

分析：由已知中的前四個(gè)等式，分析各項(xiàng)系數(shù)的變化規(guī)律，進(jìn)而可得第五個(gè)式子中的系數(shù)，進(jìn)而得到答案．

解答： 解：∵①sin2θ=cosθ•2sinθ
②sin4θ=cosθ（4sinθ-8sin³θ）=cosθ（4sinθ-2³sin³θ）
③sin6θ=cosθ（6sinθ-32sin³θ+32sin⁵θ）=cosθ（6sinθ-32sin³θ+2⁵sin⁵θ），
④sin8θ=cosθ（8sinθ-80sin³θ+192sin⁵θ-128sin⁷θ）=cosθ（8sinθ-80sin³θ+32×6sin⁵θ-2⁷sin⁷θ），
…
歸納可得：當(dāng)?shù)仁阶筮叺慕菫?kθ時(shí)，
括號(hào)內(nèi)最后一項(xiàng)的系數(shù)為2^2k-1，倒數(shù)第二項(xiàng)的系數(shù)為-2^2k，第一項(xiàng)的系數(shù)為2k，各項(xiàng)系數(shù)和為：（-1）^k+1•2k
∴⑤sin10θ=cosθ（10sinθ-160sin³θ+msin⁵θ-1024sin⁷θ+nsin⁹θ）=cosθ（10sinθ-160sin³θ+672sin⁵θ-1024sin⁷θ+512sin⁹θ）
故可推測(cè)n=512，m=672，
故答案為：512，672

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．