Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y同時(shí)滿足條件：4x²-9y²=36，且xy＜0．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

分析：（1）將含y的移到一側(cè)，然后開根號即可求出函數(shù)y=f（x）的解析式，再根據(jù)4x²-36=9y²＞0求出x的范圍，從而得到函數(shù)的定義域．
（2）分段函數(shù)奇偶性的判定可分段進(jìn)行，先判斷定義域是否對稱，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判定即可．

解答：解：（1）因?yàn)?x²-9y²=36，所以y=±

2

3

x2-9

．因?yàn)閤y＜0，所以y≠0．
又因?yàn)?x²-36=9y²＞0，所以x＞3或x＜-3．（2分）
因?yàn)閤y＜0，所以f(x)=

2 3 x2-9 ，x＜-3 - 2 3 x2-9  x＞3.

（6分）
函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（3，+∞）．（8分）
（2）當(dāng)x＜-3時(shí)，-x＞3，
所以f（-x）=-

2

3

(-x)2-9

=-

2

3

x2-9

=-f（x）．（10分）
同理，當(dāng)x＞3時(shí)，有f（-x）=-f（x）．（12分）
綜上，任意取x∈（-∞，-3）∪（3，+∞），
都有f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)．（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法，以及函數(shù)奇偶性的判斷，奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是高考中�？嫉闹�識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．