Question

甲、乙兩位同學學完導數(shù)知識后，對三次多項式函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0，a、b、c、d∈R）進行了研究．在一次交流時．提出了如下結(jié)果．
①若a＞0時，則f（x）存在單調(diào)遞增區(qū)間；若a＜0時，則f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間；
②f（x）的零點個數(shù)可能是1個，或2個，或3個；
③有極值的充要條件是b²≥3ac；
④圖象上總存在不同的兩點A，B，在A，B兩點處的切線互相平行．
請你給予評價：
（1）上述結(jié)果是正確的

 

（填上所有正確的序號）；
（2）上述結(jié)果若有錯誤的，填上錯誤的序號并更正：

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：對f（x）=ax³+bx²+cx+d考查，對4個結(jié)果依次分析判斷．

解答： 解：①若a＞0時，x→-∞時，f（x）→-∞；x→+∞時，f（x）→+∞；則f（x）存在單調(diào)遞增區(qū)間；
若a＜0時，x→-∞時，f（x）→+∞；x→+∞時，f（x）→-∞；則f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間；故正確．
②f（x）=x³時，f（x）有1個零點；f（x）=（x-1）x²時，f（x）有2個零點；f（x）=（x-2）（x-1）x時，f（x）有3個零點；故正確．
③f′（x）=3ax²+2bx+c，若f（x）有極值，則△=（2b）²-4×（3a）×c＞0，即b²＞3ac；故不正確．
④f′（x）=3ax²+2bx+c知，當x₁+x₂=-

2b

3a

時，f′（x₁）=f′（x₂），則在x₁、x₂處f（x）的切線的斜率相等，則切線互相平行．故正確．
故答案為：（1）①②④；（2）③，b²＞3ac．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題．