Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程；
（3）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，根據(jù)橢圓的定義可得2a=4，即a=2．利用點(diǎn)A（1，

3

2

）在橢圓上，可求得b²=3，從而可求橢圓C的方程；
（2）先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得動(dòng)點(diǎn)與F₁K之間坐標(biāo)關(guān)系，利用動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，可求中點(diǎn)的軌跡方程．
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），進(jìn)而可知

m2

a2

-

n2

b2

=1、又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），表示出直線PM和PN的斜率，求的兩直線斜率乘積的表達(dá)式，把y和x的表達(dá)式代入發(fā)現(xiàn)結(jié)果與p無(wú)關(guān)．

解答：解：（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，得2a=4，即a=2．
又點(diǎn)A（1，

3

2

）在橢圓上，因此b²=3，于是c²=1．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
（2）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點(diǎn)Q（x，y），∴x₁=2x+1，y₁=2y．
因此

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1．即(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1為所求的軌跡方程．
（3）類似的性質(zhì)為若MN是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，
點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，
并記為k_PM、k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-m，-n），
其中

m2

a2

-

n2

b2

=1、又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由k_PM=

y-n

x-m

，k_PN=

y+n

x+m

，
得k_PM•k_PN=

y-n

x-m

•

y+n

x+m

=

y2-n2

x2-m2

，
將y²=

b2

a2

x²-b²，n²=

b2

a2

m²-b²，代入得k_PM•k_PN=

b2

a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查代入法求軌跡方程，考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．